介绍了分形几何学的基本概念和分形维数的测量方法，对混凝土级配的分形描述、混凝土孔隙、裂缝的分 形特征、混凝土的分形断裂能等作了介绍 ，并对分形几何学在混凝土材料研究中的应用前景作了展望。 关键词：分形维数；分布函数；混凝土孔隙；断裂能；混凝土声发射 中图分 类号 ：TU528 文献标志码 ：A 文章编 号 ：1008—1933(2013)05—221～05 Applicationsoffractaltheory in concrete SUN Hongquan．FU Dongliang (SchoolofCivilEngineering，SuzhouUniversityofScienceandTechnology，Suzhou 215011，China) Abstract：In thispaper，thebasicconceptsofthefractalgeometryandthemeasuremethodsofthefractaldimensionareintroduced．The fractaldescriptionofthe concrete gradation and the concrete pores，thefractalcharacteristicsofthe cracks，and the fractalfracture energyof the concrete are presented．Furthermore ，the 印 pheation prospects of the fractalgeometry in the concrete materials are discussed． Keywords：fractaldimension；distributionfunction；concretepore；fractureenergy ；concreteacousticemission O 引 言 1 分形维数及其计算方法 为了描述 自然界的一些复杂图形和现象 ，1975 年 ，美藉波 兰裔教授 Mandelbrot创造 了“fractal”一 词 (即“分形 ”)，并 著 成 了《分形 ：形状 、机 遇 和维 数》一书 ，介绍 了复杂几何体 和复杂现象出现 的频 率与分形维数的关 系。分形 ，即具有分数维数 的几 何形体 。由于经典 的几何形体都是整数维数 (如零 维 的点，一维 的线 ，二维 的平 面等)，分形几何体所 具有的分数维数称为“分形维数”，用于和一般整数 维的几何体 区分开来。该 书的发表 ，标志着分形几 何学的产生 。在随后 的 1982年 ，他又发表 了《大 自 然 的分形几何 》一书 ，介 绍了 自然界大量存在 的分 形现象及其背后 的成 因，该 书更被认为是分形几何 学领域的“圣经 ”。此后 ，分形几何 学迅速发展 ，在 诸多领域得到推广和应用。 目前 ，分形几何学在混凝 土的研究 中已经 占有 重要地位。本文将首先介绍一下分形几何 的基本概 念 ，然后着重论述一下分形几何学在混凝土研究 中 的一 些应 用 。 收稿 日期 ：2O12 3．12 作者简 介：孙洪泉 (1954一)，男 ，江苏建湖人 ，教授 ，主要从事分 形理 论与应用 的教学和研究工作 。 E—mail：hqsun@ mail．usts．edu．cn 1．1 分 形维 数 试想一条一维的直线 ，如果将其长度扩大至原 来 的 3倍 ，则会得到一条大的直线 ，其相 当于 3 个 原来的直线 ；再设想一个二维的正方形 ，如果将其边 长扩大至原来的 3倍 ，则会得到一个大的正方形 ，它 正好相当于 3 个原来 的正方形 ；一个立方体 ，如果 将其边长扩大至原来 的 3倍 ，则会得到一个大的正 方体 ，它正好 相 当于 3 个 原来 的正 方体。换句话 说 ，如果一个 d维几何对象的每个独立方 向都扩大 为原来 的 口倍 时，如果得 到 Ⅳ个原来 图形 的话 ，则 上述 3个数之间有如下关系 ：o =N，即有 d=lnⅣ／ lna。在欧氏空间 中，维数一般是整数 ，称之为拓扑 维。当维数是分数时 ，则称之 为分维 ，又称分形维 数 ，记为 ，从而分维数 D。用 如下公式表示 ：Do= lnN／lna。 1．2 分形维数的测量方法 分形维数的测量方法很多，实际应用较多的是 盒维数法 。根据盒子形状 的不 同，盒维数法又可分 为网格盒子法和弦长盒子法 。 盒维数法又称数盒子法，采用如下方法测量分 形维数 ：取长为 r的小盒子 ，将分形 曲线覆盖起来 ， 有些盒子并未覆盖到分形 曲线上，所 以这些盒子是 空的。数数多少盒子 不是空 的，记下非空盒 子数 Ⅳ

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