运用最小二乘法原理建立经验公式在推算混凝土强度中的应用

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发布时间：2021-10-28

资料介绍

文章介绍利用一系列试验数据，运用最小二乘法原理建立混凝土强度经验公式的方法。
【关键词】最小二乘法；经验公式；混凝土强度推算
【中图分类 "~一-]TU12 【文献标Lq~]A [文章~ -11005—6270{2010)05—0100—02
Based on the Least Square Principle Building Empirical Formula and its Application to
Calculating the Strength of Concrete
JIN Zhong
(Jiangsu Provincial Construction Group Co．，Ltd，Nanjing Jiangsu 210029 China) ．
Abstract：In this article，according to a large mount of experimental data，the method about calculation formu—
las of concrete strength was introduced based Oil the least square principle．
Key words：the method of least squares，experience formula，calculation the strength of concrete
l 运用最小二乘法原理建立经验公式
许多工程问题。常常需要根据两个变量的几组实验数
据来找出这两个变量的函数关系的近似表达式．通常把这
样得到的函数的近似表达式叫做经验公式。经验公式建立
以后．就可以把生产或实践中所积累的某些经验．提高到理
论上加以分析。
1．1 直线函数关系式的建立
两个变量 X与 Y有一定的关系．通过试验得到了有关
数据．要找出两者之间的经验公式。设有 n对互相独立的观
测值 (Xi Yi，i=l，2，… ，n)，我们视每一组观测值为一个点，
将 n个点绘制成一张散点图，如果从散点图上可以看出，这
些点的连线大致接近于一条直线，我们可以认为 y---~ 是一
个线性关系，这个关系可表达为 f(x)=ax+b。常数 a和 b如
何确定呢?最理想的情形是选取这样的 a和 b．能使直线
Y=ax+b经过散点图上所标出的各点。但在实际上这是不可
能的，因为这些点本来就只是大致接近于一条直线。因此，
我们只能要求选取这样的 a．b，使得 f(x)=ax+b在 Xo，Xl，x
… … 处的函数值 f(xo)，f(x )，f(x )… … 与实验数据 YO,Y。，Y2
… … 相差都很小，也就是使偏差 —f(xi)都很小，那么如何
达到这一要求呢?能否设法使偏差的和∑ [ i)]很小来 i= 0
保证每个偏差都很小呢 ?不能，因为偏差有正有负，在求和
时可能互相抵消，为了避免这种情形，可对偏差取绝对值再
n n
求和，只要∑lyi-．~x；)l=∑ jyi-(ax；+6)}很小，就可以保证每 i= 0 i= 0
一个偏差的绝对值都很小，由于任何实数的平方都是正数
或零，为了便于分析讨论，我们可以选取常数 a．b，使
n
= ∑【Yi-(似i+6)] 最小来保证每个偏差的绝对值都很小， i = 0
这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数 a,b的方
法叫做最小二乘法。用多元函数微分法解上式可得
a=(∑ ．∑ 一∑，∑x (∑I)Ln∑ (1)
b=(∑ ．∑ 一nE y)／[(∑1) n∑ (2)
1．2 非直线函数关系式的建立
如果发现散点图上各点分布所显示的是一条曲线，则
应根据曲线形状选择曲线方程。曲线方程可以通过数学变
换转化为直线方程。参数 a和 b仍可以用直线方程的公式
来解。根据本文的需要，这里只简单介绍一下指数方程中的
一种．即
y=ae (3)
作数学变换，两边取自然数，得：
lny=lna+b／x
令 y’=lny，a’=lna，x’=l／x，则得
Y’=a’+bx’
根据 x与 Y的对应关系，即可算出 a’和 b，根据 a’=lna
算出 a，将 a和 b代人公式 (3)，即得所需的经验公式。
2 运用最小二乘法原理建立经验公式在推算混凝土强度
中的应用
运用最小二乘法原理建立经验公式来推算混凝土强度
具有明显的实用价值．例如：混凝土的强度随时间的推移而