应用Lyapunov指数研究混凝土阶段特征的稳定判据

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发布时间：2021-09-03

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应用L yap unov 指数研究混凝土阶段特征的稳定判据
3 收稿日期82 2
作者简介宋军伟( 2) ,男,博士研究生,主要从事混凝土材料方面的研究。( 2 ) j @
宋军伟　方坤河
(武汉大学　水资源与水电工程科学国家重点实验室,武汉　430072)
摘要:根据混凝土材料的应力2应变试验研究,得出试验曲线呈明显的分段特征,曲线的离散性发生于应
变软化阶段。通过对试验数据序列的混沌动力学分析得出:随着单向抗压强度的增加,混凝土材料全应
力2应变过程的系统状态由较有序的定常态质变为低混沌态,进而逐渐演化到强混沌态;混凝土材料峰
后应力2应变阶段曲线的线性性质增强,裂隙系统状态由强有序的定常态向弱混沌态演化;混凝土材料
峰前阶段的裂隙系统基本呈现弱混沌状态。提出将L E1 作为混凝土材料阶段特征的稳定判据,将L E1
作为系统稳定度的表征量,并在实例计算中证明了该法确定的稳定判据符合实际情况。
关键词:Lyap unov 指数;混凝土材料;阶段特征;混沌;动力学;稳定判据
中图分类号:TU528 　文献标志码:A 　　文章编号:100627329 (2008) 0320129205
Resear ch on Sta bil ity Cr iter ion of Concr ete Featur e in Differ ent
Str ess Stage with Lyapunov Exponent
SONGJ un2wei , FANG Kun2he
(State Key Laborator y of Water Re so urce And Hydropowe r Engineering Scie nce ,Wuhan Univer sity , Wuha n 430072 , China)
Abstract :According to t he research on whole cur ve s of s train2s tre ss of concret e materials , t hi s pape r finds t here
was an evi dent feat ures of st ages , and t he discret e feat ure of curve i s of ten in st rain2soft ening stage . Aft er dat a
serie s of t est being det ecte d by dynamics of chao s , it present s t hat syst em of whole proces s of st rain2st res s
evol ut es from ordered st eady st ate to low chaos st at e even high chaos st ate , syst em aft er co mpres si ve st re ngth
whic h curve of st rain2st res s is more linear one by one changes from s t rong or dered st eady st ate to low chaos
stat e ; a nd joi nt syst em of concret e before compres si ve st rength normally generat es weak chaos st at e , with
inc rease of uniaxial comp re ssive st re ngth of concret e mat erial s specime ns. The L E1 i s propo sed to be t he
sta bi li ty cri terion of concrete f eatures in different st res s st age s , and t he L E1 is regarded as t he repre sentat ive
val ue of t he syst em s tability degree. The calculat ion of exampl e shows that t he st ability crit erion defi ned by t he
proposed method i s consi stent wi th t he act ual si t uation.
Key wor ds :Lyapunov exponent ; concret e mat erial s ; feat ures of s tage s ; chaos ; dynamics ; st ability crit erion
混凝土裂隙系统在结构上是非均质、各向异性和
不连续的复杂系统,有时难以用确定性分析的方法(如
极限平衡法、数值分析和试验等) 分析和研究裂隙系统
的发展规律。其演化特征的研究适于采用非线性动力
学方法。近年来,混沌理论因其揭示自然界的本质规
律,在物理、化学、地学和材料科学等领域得到较广泛
的应用。目前,已有一些研究成果表明其时间序列具
有混沌特性[ 123 ] ,但对于在混凝土材料阶段特征的研究
中,是否具有混沌特性的研究成果鲜见。本文主要研
究混凝土裂隙系统的混沌动力学行为[4～6 ] 。虽然混沌
评价指标来源于对时间序列的分析,但它蕴涵了丰
富的系统信息,对混凝土裂隙这种复杂系统的描述
更趋于客观。笔者通过几个典型混凝土材料阶段特
征混沌特性研究,提出了失稳准则,并研究混沌特征
量Lyapunov 指数作为混凝土材料阶段特征的稳定
判据。
1 　基本原理
1. 1 　Lyapunov 指数
Lyap unov 指数是相邻轨线的平均发散性或平均
收敛性的一种度量。对一个定义于n 维流形M 的动
力系统
: 200 01 20
: 1977 E mail s w77 t om. com
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X
_
·
= F ( X
_
) (1)
X _
( t) 是其轨线(见图1 ,图中只给出了3 维情况) 。设
X _
(0) 为其初始值, 对应轨线为1; 若在初始时刻有一偏
差W
_
(0) ,则X
_
(0) + W
_
(0) 在式(1) 作用下将产生轨线2。
图1 　基准轨线与相邻轨线
考察t > 0 时刻,沿轨线1 有值x
_
( t) ,沿轨线2 有
值X
_
( t) +W
_
( t) ,随着t 的变化, W
_
( t) 也将发生改变。
如果W
_
(0) 很小,可近似地看成在X
_
(0) 处的切向量,即
W _
(0) ∈TxM 。W
_
( t) 的变化规律可用下式表示:
W _
·
= 9F ( X
_
)
9 X
_
X _
= X _ (t )
W _
(2)
这样一维L yap unov 指数可定义如下[ 1 ] :
LE = lim
t→∞
1
t
‖W
_
( t) ‖
‖W
_
(0) ‖
(3)
式中: · ———Euclid 范数。对于n 维相空间,可取n
个Lyapunov 指数,按其大小顺序排列为:
L E1 ≥L E2 ≥ ⋯⋯ ≥LEn (4)
1. 2 　稳定性概念及稳定度
1. 2. 1 　稳定性的概念
当某一时刻t0 对混凝土施加一微小应力Δ X
_
0 ,
在t →+ ∞时,若初扰动产生的应变‖y
_
( t) ‖→0 ,时
刻是稳定的t0 ; 若‖ y
_
( t) ‖→+ ∞, 则称该系统在t0
时刻不稳定; 若0 < ‖y
_
( t) ‖<ε(ε为某一对应于Δ
X
_
0 的给定量, (ε> 0) , 则称系统在t0 时刻处于临界
状态。
稳定度
在实际工程中,不仅关心工程是否稳定,而且重视
其稳定度。稳定度是描述系统状态发展度的量。
稳定度是表征系统稳定或不稳定程度的一种
度量。
为了阐明上述概念,用李雅普诺夫函数V
o
( X
_
) ,对
时间t 的全导数V ( X
_
) 来论述。众所周知,V ( X
_
) 是一
个广义能量函数,其V
o
( X
_
) 表征广义能量随时间t 变化
的大小。对于V( X
_
) > 0 ,V
o
( X
_
) < 0 ,若V
o
( X
_
) 越大,
说明扰动引起系统的广义能量衰减到零所需的时间越
短,即系统的稳定程度越高;反之,当V ( X
_
) > 0 ,V
o
( X
_
)
<0 , 若V
o
( X
_
) 越大,说明系统的稳定程度越低。这
里应指出的是, 用V
o
( X
_
) 表征系统的稳定度是瞬时状
态,而下文应用的最大Lyapunov 指数L E1 表征的
稳定度是平均概念,两者有本质的区别。
1. 3 　Lyapunov 指数与稳定性的关系
1. 3. 1 　用L E1作为稳定判据
从式(3) 看出: L E 描述了初始偏差